Longitud De Arco Integrales Ejercicios Resueltos
Si eres estudiante de matemáticas, seguramente has escuchado hablar de la longitud de arco en integrales. Es un tema que puede parecer complicado, pero con un poco de práctica y conocimiento, puede ser fácil de entender y aplicar. En este artículo, te mostraremos algunos ejercicios resueltos de longitud de arco en integrales. ¡Empecemos!
¿Qué es la longitud de arco?
Antes de resolver ejercicios, es importante entender lo que significa la longitud de arco en matemáticas. En términos simples, la longitud de arco es la distancia que recorre una curva en un plano. Es decir, si una curva tiene una longitud de arco de 10 metros, significa que si caminaras siguiendo la curva, recorrerías esa distancia.
¿Cómo se calcula la longitud de arco?
La longitud de arco se puede calcular utilizando integrales. La fórmula para calcular la longitud de arco es:
L = ∫(a,b) √(1 + [f'(x)]^2) dx
Donde:
- L es la longitud de arco
- f(x) es la función que define la curva
- a y b son los límites de integración
- f'(x) es la derivada de la función f(x)
Ejercicio resuelto 1
Calculemos la longitud de arco de la curva y = x^2/2 + ln(x) en el intervalo [1, 2].
Para resolver este ejercicio, necesitamos encontrar la derivada de la función f(x):
f'(x) = x + 1/x
Luego, podemos sustituir los valores en la fórmula de la longitud de arco:
L = ∫(1,2) √(1 + [(x + 1/x)]^2) dx
Al resolver la integral, obtenemos:
L = ln(2) + √5/2 - 1/2
Por lo tanto, la longitud de arco de la curva y = x^2/2 + ln(x) en el intervalo [1, 2] es aproximadamente 2.37 unidades.
Ejercicio resuelto 2
Calculemos la longitud de arco de la curva y = 1/3 x^3/2 en el intervalo [0, 3].
Primero, encontramos la derivada de la función f(x):
f'(x) = √(x)
Luego, sustituimos los valores en la fórmula de la longitud de arco:
L = ∫(0,3) √(1 + x) dx
Resolviendo la integral, obtenemos:
L = 4/3 [ (1 + x)^3/2 ] [0,3]
L = 4/3 (4√2 - 1)
Por lo tanto, la longitud de arco de la curva y = 1/3 x^3/2 en el intervalo [0, 3] es aproximadamente 2.38 unidades.
Ejercicio resuelto 3
Calculemos la longitud de arco de la curva y = ln(cos(x)) en el intervalo [0, π/4].
Primero, encontramos la derivada de la función f(x):
f'(x) = -tan(x)
Luego, sustituimos los valores en la fórmula de la longitud de arco:
L = ∫(0,π/4) √(1 + [tan(x)]^2) dx
Resolviendo la integral, obtenemos:
L = ln(sec(π/4)) + ln(2)
L = ln(√2) + ln(2)
L = ln(2√2)
Por lo tanto, la longitud de arco de la curva y = ln(cos(x)) en el intervalo [0, π/4] es aproximadamente 1.39 unidades.
Ejercicio resuelto 4
Calculemos la longitud de arco de la curva y = 2x^3/3 + 3x^2/2 - 12x en el intervalo [1, 4].
Primero, encontramos la derivada de la función f(x):
f'(x) = 2x^2 + 3x - 12
Luego, sustituimos los valores en la fórmula de la longitud de arco:
L = ∫(1,4) √(1 + [(2x^2 + 3x - 12)]^2) dx
Resolviendo la integral, obtenemos:
L = (1/24) [ (2x^2 + 3x - 12)√(4x^4 + 12x^3 - 48x^2 + 36x + 145) + 6ln|2x^2 + 3x - 12 + √(4x^4 + 12x^3 - 48x^2 + 36x + 145)|] [1,4]
L = 5.51
Por lo tanto, la longitud de arco de la curva y = 2x^3/3 + 3x^2/2 - 12x en el intervalo [1, 4] es aproximadamente 5.51 unidades.
Ejercicio resuelto 5
Calculemos la longitud de arco de la curva y = e^x/2 en el intervalo [0, ln(2)].
Primero, encontramos la derivada de la función f(x):
f'(x) = 1/2 e^x/2
Luego, sustituimos los valores en la fórmula de la longitud de arco:
L = ∫(0,ln(2)) √(1 + [1/2 e^x/2]^2) dx
Resolviendo la integral, obtenemos:
L = 2√(e^ln(2) - 1)
L = 2√(2 - 1)
L = 2
Por lo tanto, la longitud de arco de la curva y = e^x/2 en el intervalo [0, ln(2)] es aproximadamente 2 unidades.
Conclusión
En resumen, hemos visto algunos ejercicios resueltos de longitud de arco en integrales. Es importante recordar que la longitud de arco se puede calcular utilizando integrales y que es necesario encontrar la derivada de la función para resolver la fórmula. Con práctica y conocimiento, podrás resolver estos ejercicios sin problemas. ¡Sigue practicando!
Post a Comment for "Longitud De Arco Integrales Ejercicios Resueltos"