Longitud De Arco Problemas Resueltos
En este artículo te presentaremos algunos problemas resueltos sobre longitud de arco. La longitud de arco es una medida de la longitud de una curva en un plano o en el espacio tridimensional. Es un concepto importante en la geometría y en muchas otras áreas de las matemáticas y la física.
Problema 1
Calcular la longitud de arco de la curva y = x^2/2 + ln(x) entre x = 1 y x = e.
Primero, calculamos la derivada de y:
y' = x + 1/x
Luego, calculamos la integral de la raíz cuadrada de 1 + (y')^2:
∫√(1 + (x + 1/x)^2) dx
Esta integral no es fácil de resolver, pero podemos simplificarla mediante una sustitución trigonométrica:
Sustituimos x + 1/x por tan(θ), por lo que dx = (sec^2(θ) dθ)/2.
Entonces, la integral se convierte en:
∫√(1 + (tan(θ))^2) (sec^2(θ) dθ)/2
Que se puede simplificar como:
∫sec(θ) dθ/2 = (1/2) ln|sec(θ) + tan(θ)| + C
Donde C es la constante de integración.
Para encontrar los límites de integración, resolvemos la ecuación x + 1/x = tan(θ) para x:
x = (tan(θ) ± √(tan^2(θ) - 4))/2
Como x debe ser mayor que cero, tomamos la solución positiva:
x = (tan(θ) + √(tan^2(θ) - 4))/2
Para x = 1, θ = π/4 y para x = e, θ = arctan(2).
Sustituimos estos valores en la fórmula de longitud de arco:
L = (1/2) ln|sec(π/4) + tan(π/4)| - (1/2) ln|sec(arctan(2)) + tan(arctan(2))|
L = (1/2) ln(√2 + 1) - (1/2) ln(√5 + 2)
L ≈ 2.539 unidades de longitud.
Problema 2
Calcular la longitud de arco de la curva y = ln(cos(x)) entre x = 0 y x = π/4.
Primero, calculamos la derivada de y:
y' = -tan(x)
Luego, calculamos la integral de la raíz cuadrada de 1 + (y')^2:
∫√(1 + (-tan(x))^2) dx
Esta integral se puede simplificar mediante una sustitución trigonométrica:
Sustituimos tan(x) por sin(θ)/cos(θ), por lo que dx = (cos(θ) dθ)/(cos^2(θ)) = sec(θ) dθ.
Entonces, la integral se convierte en:
∫sec^2(θ) dθ = tan(θ) + C
Donde C es la constante de integración.
Para encontrar los límites de integración, resolvemos la ecuación tan(x) = sin(θ)/cos(θ) para x:
x = arctan(sin(θ)/cos(θ)) = arctan(tan(θ)) = θ
Para x = 0, θ = 0 y para x = π/4, θ = π/4.
Sustituimos estos valores en la fórmula de longitud de arco:
L = tan(π/4) - tan(0) = 1 unidad de longitud.
Problema 3
Calcular la longitud de arco de la curva y = √(x^2 + 1) entre x = 0 y x = 1.
Primero, calculamos la derivada de y:
y' = x/√(x^2 + 1)
Luego, calculamos la integral de la raíz cuadrada de 1 + (y')^2:
∫√(1 + (x/√(x^2 + 1))^2) dx
Esta integral se puede simplificar mediante una sustitución trigonométrica:
Sustituimos x por tan(θ), por lo que dx = sec^2(θ) dθ.
Entonces, la integral se convierte en:
∫sec^3(θ) dθ
Que se puede resolver mediante integración por partes:
u = sec(θ), dv = sec^2(θ) dθ
du = sec(θ) tan(θ) dθ, v = tan(θ)
La integral se convierte en:
sec(θ) tan(θ) - ∫tan^2(θ) sec(θ) dθ
Que se puede simplificar mediante la identidad trigonométrica:
tan^2(θ) + 1 = sec^2(θ)
La integral se convierte en:
sec(θ) tan(θ) - ∫(sec^2(θ) - 1) sec(θ) dθ
Que se puede resolver como:
sec(θ) tan(θ) + ln|sec(θ) + tan(θ)| + C
Donde C es la constante de integración.
Para encontrar los límites de integración, resolvemos la ecuación x = tan(θ) para θ:
θ = arctan(x)
Para x = 0, θ = 0 y para x = 1, θ = π/4.
Sustituimos estos valores en la fórmula de longitud de arco:
L = sec(π/4) tan(π/4) + ln|sec(π/4) + tan(π/4)| - sec(0) tan(0) - ln|sec(0) + tan(0)|
L ≈ 1.313 unidades de longitud.
Conclusión
La longitud de arco es un concepto importante en la geometría y en muchas otras áreas de las matemáticas y la física. En este artículo, hemos presentado algunos problemas resueltos sobre longitud de arco. Esperamos que estos ejemplos te hayan ayudado a comprender mejor este concepto y a mejorar tus habilidades de resolución de problemas.
Recuerda practicar regularmente y no dudar en pedir ayuda si tienes dificultades para entender algún concepto o resolver algún problema.
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